[轉錄]Re: 試證""五個連續正整數的連乘積不可能是完全平方數""

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標 題: Re: 試證""五個連續正整數的連乘積不可能是完全平方數""
發信站: 無名小站 (Thu, 01 Dec 2005 17:06:53 +0800 (CST))

[證明]連續五個自然數乘積必定不是完全平方數
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引理一、
　任兩個不同完全平方數（不包含１）的差都>=５
(在這裡定義 x,y 「差」 為|x-y| )

　證明：
　　兩個數可以表示成a,a+b 　a,b皆為正整數，且a>=2 (我們
假設不包含1)

　　則這兩個數的差為
　　　　　　　　(a+b)^2 - a^2 = 2ab+b^2 >= 4b + b^2 >= 5
等式僅在a=2,b=3成立
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引理二、

　定義（完全平方數＊２）為某個完全平方數＊２所得的結果，
如 2,8,18,32...

　則任兩個（完全平方數＊２） 的差都>=６
　　 　
　證明：
　　兩個數可以表示成a,a+b 　a,b皆為正整數
　　則這兩個（完全平方數＊２）的差為
(2*(a+b)^2) - (2*a^2) = 4ab+2*b^2 >= 4b +2*b^2 >= 6

等式僅在a=1,b=2成立，即2,8兩個（完全平方數＊２）的差

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推論一、

　我們同樣定義（完全平方數＊３）、（完全平方數＊６）為某
個完全平方數＊３、＊６的結果。前者數域為{3,12,27,....}、
後者為{6,24,54,...}

　類似的證明，任意兩個（完全平方數＊３）的差至少是９，任
意兩個（完全平方數＊６）的差至少是１８
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這兩個引理和推論，其實都蠻直觀的～但對我們的證明很重要！

現在我們開始證明－

　　任意取五個連續正整數的乘積，一定不是完全平方數。
　

１、
　首先，我們剔除掉1,2,3,4,5這組，因為1*2*3*4*5=120不是完
　全平方數

２、
　現在我們可以假設這五個連續的數為a1,a2,a3,a4,a5　

　則從這五個數任取兩個數出來，其差最多為４（即|a5-a1|）


　
３、
　設 a1*a2*a3*a4*a5=m 為一個完全平方數

　並設 m的質因數為p1,p2,p3......

４、
若 m存在質因數P>=5 ，則必存在 P^2 | ak (k=1,2,3,4,5)

為何？
　　我們不仿假設存在一個ai（ai為a1~a5其中一個數）是P的倍數
　　但　ai不是P^2的倍數


　　則在這五個數中必定存在aj也是P的倍數，否則 m就不會是完全
　　平方數了～

　　但這樣一來，|ai-aj|>=P>=5 顯然地，由五個連續正整數中任
　　取兩個數，這兩個數的差最多是 4 （即２、的結論）此為矛盾

　　故不存在這樣的ai

是故若 m有質因數P>=5，該質因數的平方必為a1~a5其中一個數的
因數

５、
　現在我們再考慮 m剩下的質因數－２、３

　我們假設 m = 2^2c * 3^2d * N^2 其中 N不為2或3的倍數

　則 m = 2^2c * 3^2d * N^2 = a1*a2*a3*a4*a5


　這樣a1~a5只能是下面四個正整數集合中取出

　甲、完全平方數
　乙、（完全平方數＊２）
　丙、（完全平方數＊３）　
　丁、（完全平方數＊６）

　依據鴿籠原理，五個數卻只有四種可能取法，必然有兩個數從
　同一個集合中取出

６、假設
　　是從甲集合中取出兩個數來，即a1,a2,a3,a4,a5中存在兩個
　　完全平方數。

　　則這兩個完全平方數一定不包含１，因為我們在第一步時候
　　就把1,2,3,4,5這個連續自然數組合剔除了

　　根據引理一－這樣這兩個完全平方數的差必定>=５
　　這與２、所得的結論矛盾

７、假設是從（完全平方數＊２）集合中取出兩個數來？
　　根據引理二，這兩個數的差至少是６，依舊與２、所得結論
　　相反

８、假設是從（完全平方數＊３）集合中取兩個數？
　　根據推論１，兩個數差距至少是９　依舊矛盾
　　
　　最後　即便是從（完全平方數＊３）集合中取兩個數？
　　兩個被取出來的數差距只少是１８，依舊矛盾

９、因此，我們找不出 a1~a5的取法，這就表示 m=a1*a2*a3*a4*a5

不可能是完全平方數，命題證畢

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結語﹔

　1.這題真的出的很好！個人也是思考了許久才想出，關鍵在於
　　五個連續自然數任取兩個數出來，兩個數差距最多為４
最後總算能完整證明了，感覺真好－

　2.網路上可找到同樣的題目，但全部都沒有解答，或解答不嚴
　　謹（其中比較離譜的，把五個連續自然數相乘初步因式分解
　　，就自稱已經解出，或做 y^5不可能是完全平方數之類謬假
　　設），令人有種與其去找解答不如自己做的感覺XD

　3.原來證明當然是寫在紙上，用了許多數學符號，沒想到要打
　　字出來，還要一番功夫－因此證題當中，若哪一部份符號你
　　看不懂，歡迎寫信來詢問:)


　4.事實上，我們可以把命題推廣為－任意多個連續自然數的乘
　　積一定不能是完全平方數
　　這個命題已經由 Rigge證明出來，證明過程可能要去找相關
　　數學書籍了。

5.還有任何問題，或對解題過程哪裡不了解，或可以跟敝人討
　　論的，歡迎寫信到敝人信箱，或直接來無名小站P_DreamYeh
　　板詢問，希望能幫大家理解證明唷！

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