數學之美３ 隱含馬爾可夫模型在語言處理中的應用

數學之美 系列三 -- 隱含馬爾可夫模型在語言處理中的應用

2006年4月17日 上午 08:01:00
發表者：吳軍，Google 研究員

前言：隱含馬爾可夫模型是一個數學模型，到目前為之，它一直被認為是實現快速精確的
語音識別系統的最成功的方法。複雜的語音識別問題通過隱含馬爾可夫模型能非常簡單地
被表述、解決，讓我不由由衷地感歎數學模型之妙。

自然語言是人類交流信息的工具。很多自然語言處理問題都可以等同於通信系統中的解碼
問題 -- 一個人根據接收到的信息，去猜測發話人要表達的意思。這其實就像通信中，我
們根據接收端收到的信號去分析、理解、還原發送端傳送過來的信息。以下該圖就表示了
一個典型的通信系統：
http://googlechinablog.com/uploaded_images/channel-712509.jpg

其中 s1，s2，s3...表示信息源發出的信號。o1, o2, o3 ... 是接受器接收到的信號。
通信中的解碼就是根據接收到的信號 o1, o2, o3 ...還原出發送的信號 s1，s2，s3...
。

其實我們平時在說話時，腦子就是一個信息源。我們的喉嚨（聲帶），空氣，就是如電線
和光纜般的信道。聽眾耳朵的就是接收端，而聽到的聲音就是傳送過來的信號。根據聲學
信號來推測說話者的意思，就是語音識別。這樣說來，如果接收端是一台計算機而不是人
的話，那麼計算機要做的就是語音的自動識別。同樣，在計算機中，如果我們要根據接收
到的英語信息，推測說話者的漢語意思，就是機器翻譯；如果我們要根據帶有拼寫錯誤的
語句推測說話者想表達的正確意思，那就是自動糾錯。

那麼怎麼根據接收到的信息來推測說話者想表達的意思呢？我們可以利用叫做「隱含馬爾
可夫模型」 （Hidden Markov Model）來解決這些問題。以語音識別為例，當我們觀測到
語音信號 o1,o2,o3 時，我們要根據這組信號推測出發送的句子 s1,s2,s3。顯然，我們
應該在所有可能的句子中找最有可能性的一個。用數學語言來描述，就是在已知
o1,o2,o3,...的情況下，求使得條件概率
P (s1,s2,s3,...|o1,o2,o3....) 達到最大值的那個句子 s1,s2,s3,...

當然，上面的概率不容易直接求出，於是我們可以間接地計算它。利用貝葉斯公式並且省
掉一個常數項，可以把上述公式等價變換成

P(o1,o2,o3,...|s1,s2,s3....) * P(s1,s2,s3,...)
其中
P(o1,o2,o3,...|s1,s2,s3....) 表示某句話 s1,s2,s3...被讀成 o1,o2,o3,...的可能性
, 而
P(s1,s2,s3,...) 表示字串 s1,s2,s3,...本身能夠成為一個合乎情理的句子的可能性，
所以這個公式的意義是用發送信號為 s1,s2,s3...這個數列的可能性乘以 s1,s2,s3...本
身可以一個句子的可能性，得出概率。

（讀者讀到這裡也許會問，你現在是不是把問題變得更複雜了，因為公式越寫越長了。別
著急，我們現在就來簡化這個問題。）我們在這裡做兩個假設：

第一，s1,s2,s3,... 是一個馬爾可夫鏈，也就是說，si 只由 si-1 決定 (詳見系列一)
；
第二， 第 i 時刻的接收信號 oi 只由發送信號 si 決定（又稱為獨立輸出假設, 即
P(o1,o2,o3,...|s1,s2,s3....) = P(o1|s1) * P(o2|s2)*P(o3|s3)...。
那麼我們就可以很容易利用算法 Viterbi 找出上面式子的最大值，進而找出要識別的句
子 s1,s2,s3,...。

滿足上述兩個假設的模型就叫隱含馬爾可夫模型。我們之所以用「隱含」這個詞，是因為
狀態 s1,s2,s3,...是無法直接觀測到的。

隱含馬爾可夫模型的應用遠不只在語音識別中。在上面的公式中，如果我們把
s1,s2,s3,...當成中文，把 o1,o2,o3,...當成對應的英文，那麼我們就能利用這個模型
解決機器翻譯問題； 如果我們把 o1,o2,o3,...當成掃瞄文字得到的圖像特徵，就能利用
這個模型解決印刷體和手寫體的識別。

P (o1,o2,o3,...|s1,s2,s3....) 根據應用的不同而又不同的名稱，在語音識別中它被稱
為「聲學模型」 (Acoustic Model)， 在機器翻譯中是「翻譯模型」 (Translation
Model) 而在拼寫校正中是「糾錯模型」 (Correction Model)。 而P (s1,s2,s3,...) 就
是我們在系列一中提到的語言模型。

在利用隱含馬爾可夫模型解決語言處理問題前，先要進行模型的訓練。 常用的訓練方法
由伯姆（Baum）在60年代提出的，並以他的名字命名。隱含馬爾可夫模型在處理語言問題
早期的成功應用是語音識別。七十年代，當時 IBM 的 Fred Jelinek (賈裡尼克) 和卡內
基·梅隆大學的 Jim and Janet Baker (貝剋夫婦，李開復的師兄師姐) 分別獨立地提出
用隱含馬爾可夫模型來識別語音，語音識別的錯誤率相比人工智能和模式匹配等方法降低
了三倍 (從 30% 到 10%)。 八十年代李開復博士堅持採用隱含馬爾可夫模型的框架， 成
功地開發了世界上第一個大詞彙量連續語音識別系統 Sphinx。

我最早接觸到隱含馬爾可夫模型是幾乎二十年前的事。那時在《隨機過程》（清華「著名
」的一門課）裡學到這個模型，但當時實在想不出它有什麼實際用途。幾年後，我在清華
跟隨王作英教授學習、研究語音識別時，他給了我幾十篇文獻。我印象最深的就是賈裡尼
克和李開復的文章，它們的核心思想就是隱含馬爾可夫模型。複雜的語音識別問題居然能
如此簡單地被表述、解決，我由衷地感歎數學模型之妙。

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Reference:
http://googlechinablog.com/2006/04/blog-post_17.html